Homomorphisms of some hyperrings - Maneenat Kaewneam (Chulalongkorn University, 2010)
สาทิสสัณฐานของกึ่งไฮเพอร์กรุป (H, ₒ) คือ ฟังก์ชัน ƒ : H → H ซึ่ง ƒ(x ₒ y) ⊆ ƒ(x) ₒ ƒ(y) สำหรับทุก x, y ϵ H สาทิสสัณฐานของไฮเพอร์ริง (A, ⊕, ₒ) คือฟังก์ชัน ƒ : A → A ซึ่ง ƒ เป็นสาทิสสัณฐานของทั้ง (A, ⊕) และ (A, ₒ) เราให้สัญลักษณ์ Hom (A, ⊕, ₒ) แทนเซตของสาทิสสัณฐานทั้งหมดของ (A, ⊕, ₒ) ไปยังตัวเอง ถ้า (R, +, .) เป็นริง และ I เป็นไอดีลของ R เราให้ (R, +, ₒ₁) แทนไฮเพอร์ริงการคูณโดยที่ xₒ₁y = xy+I สำหรับทุก x, y ϵ R วัตถุประสงค์แรกคือการให้ลักษณะเฉพาะว่าเมื่อใดที่ Hom(ℤ, +, ₒ[subscript mℤ) = Homℤ, +) และ Hom(Z[subscript n], +, ₒ[subscript mℤ[subscript n]]) = Hom(ℤ[subscript n], +) เป็นจริง เราแสดงด้วยว่า Hom(ℤ, +, ₒ[subscript mℤ) เป็นเซตอนันต์ เมื่อ m > 0, Hom(ℤ[subscript n], +, ₒ [subscript mℤ[subscript n]]) ≥ 2n/(m,n) เมื่อ (m, n) > 1 และการเท่ากันเป็นจริง ถ้า (m, n) เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเฉพาะ เราพิจารณาคราสเนอร์ไฮเพอร์ริง (G⁰, ⊕₁, .) และ (G⁰, ⊕₂, .) ที่นิยามจากกรุป (G, .) โดย G⁰ = G⊍{0}, 0⊕₁0 = {0}, x⊕₁0 = 0⊕₁x = {x}, x⊕₁x = G⁰{x} สำหรับทุก x ϵ G, x⊕₁y = {x,y} สำหรับทุก x,y ϵ G ที่แตกต่างกัน 0⊕₂0 = {0}, x⊕₂0 = 0⊕₂x = {x}, x⊕₂x = {x, 0} สำหรับทุก x ϵ G, x⊕₂y = G{x, y} สำหรับทุก x, y ϵ G ที่แตกต่างกัน และ 0.x = x.0 = 0 สำหรับทุก x ϵ G⁰ เราต้องกำหนดว่า | > 3 สำหรับคราสเนอร์ไฮเพอร์ริง (G⁰, ⊕₂, .) วัตถุประสงค์ที่สองคือการให้ลักษณะเฉพาะของสมาชิกของ Hom(G⁰, ⊕₁, .) และ Hom (G⁰, ⊕₂, .) เราพิจารณาคราสเนอร์ไฮเพอร์ริง (R/ρ, ⊕, *) โดยที่ (R, +, .) เป็นริงสลับที่, x ρ y ก็ต่อเมื่อ x = y หรือ x = -y, xρ ⊕ yρ = {(x+y)ρ, (x-y)ρ} และ xρ*yρ = (xy)ρ สำหรับทุก x,y ϵ R เราให้ลักษณะเฉพาะของสมาชิกของ Hom(Z/ρ, ⊕, *) และสมาชิก ƒ ϵ Hom (Z[subscript n]/ρ, ⊕, *) ซึ่ง ƒ(0ρ) = 0ρ และ ƒ(1ρ) = 1ρ ยิ่งไปกว่านั้น เราให้ลักษณะเฉพาะของสมาชิกของ Hom([0,∞), ⊕, .) โดยที่ x⊕x = [0,x] สำหรับทุก xϵ[0,∞) และ x⊕y = {ค่าสูงสุดของ x และ y} สำหรับทุก x,y ϵ [0,∞) ที่แตกต่างกัน ให้ (R, ⊕[subscript P₁], ๐[subscript P₂]) เป็น P-ไฮเพอร์ริง ของริง (R, +, .) ที่เกิดจากเซตย่อย P₁, P₂ ของ R ที่ไม่เป็นเซตว่าง วัตถุประสงค์ที่สามคือ หา Hom(ℤ, +)∩Hom(ℤ, ⊕[subscript lℤ], ₒ[subscript mℤ]) และบอกว่าเมื่อใด Hom(ℤ[subscript n], +) จึงจะเป็นเซตย่อยของ Hom(ℤ[subscript n], ⊕[subscript lℤ], ₒ[subscript mℤ]) เราแสดงด้วยว่าเซต Hom(ℤ, ⊕[subscript lℤ], ₒ([subscript mℤ])Hom(ℤ, +) และ Hom(ℤ[subscript n], ⊕[subscript lℤ], ₒ[subscript mℤ])Hom(ℤ[subscript n], +) ไม่เป็นเซตว่างสำหรับบางค่าของ l, m