Một vài bài toán về đa thức và phương trình hàm đa thức một biến - Cao, Thị Nga (H. : Trường Đại học Khoa học tự nhiên, 2018)
Đa thức có vị trí rất quan trọng trong toán học không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của Giải tích trong lí thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn, lí thuyết điều khiển, tối ưu… Trong chương trình toán học phổ thông, đa thức được học từ lớp 7, 8, bổ sung dần dần đến lớp 12 và hoàn chỉnh ở bậc Đại học. Đa thức có vị trí quan trọng của kiến thức Toán nói chung , của chương trình phổ thông, với các lớp chuyên Toán và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi, vô địch Quốc gia, Quốc tế và Olimpic sinh viên, bài toán đa thức thường có mặt ở mức độ khó. Toán đa thức rất phong phú, đa dạng vì vậy luận văn sẽ tập trung vào mảng kiến thức đa thức một biến. Luận văn đã hệ thống những khái niệm, định nghĩa, chứng minh các định lí cơ bản của phần đa thức một biến để người đọc có cái nhìn tổng quan về đa thức. Luận văn cũng đã khai thác vấn đề hay và khó của đa thức đó chính là phương trình hàm đa thức một biến. Luận văn đã thu thập và phân loại bài tập từ các đề thi học sinh giỏi Quốc gia và kì thi Olimpic Quốc tế. Luận văn là một tài liệu tham khảo chọn lọc cho giáo viên và học sinh phổ thông. Luận văn bao gồm hai chương: - Chương 1. Một vài bài toán về đa thức: Trong chương này, luận văn đề cập tới hai nội dung chính đó là đa thức, nghiệm của đa thức ; đa thức với hệ số nguyên, đa thức bất khả quy. Ở nội dung thứ nhất, với mục đích cung cấp một hệ thống kiến thức nền tảng và quan trọng về đa thức, nghiệm của đa thức, tác giả đã trình bày các kiến thức sau. Trước tiên, đó là định nghĩa về đa thức một biến, đa thức bằng nhau tiếp đó là nguyên lí so sánh hệ số, các tính chất về bậc của tổng, hiệu tích các đa thức. Sau phần trình bày về phép chia hết, các định nghĩa về ước và bội là thuật toán quan trọng của đa thức – thuật toán Euclid. Tác giả cũng đã phát biểu và chứng minh định lí cơ bản của đại số bằng công cụ giải tích phức. Một định lí không thể không nhắc tới đó là định lí Viète thuận và đảo, đồng nhất thức Newton có kèm theo chứng minh. Cuối cùng, tác giả đưa chọn lọc các bài toán tiêu biểu từ các kì thi Toán học quốc tế áp dụng các kiến thức lí thuyết đã được hệ thống. Ở nội dung thứ hai, tác giả muốn đề cập tới vấn đề vô cùng hay của đa thức, được xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi Olimpic đó là đa thức bất khả quy. Ở nội dung này, tác giả phát biểu, chứng minh, đưa ra ví dụ áp dụng và bài tập chọn lọc về bốn tiêu chuẩn bất khả quy đó là: tiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn Osada, tiêu chuẩn Polya, tiêu chuẩn Oskar Perron. Chương 2. Phương trình hàm đa thức: Đây là môt dạng toán rất hay và khó, chúng thường xuất hiện trong các kì thi Olimpic Quốc tế. Trong chương này, tác giả tập trung trình bày kiến thức về phương trình hàm đa thức một ẩn. Trước hết, tác giả đưa ra dạng phương trình tiêu biểu . Ở dạng toán này, đầu tiên người đọc sẽ được hiểu rõ về bài toán tổng quát, một số mệnh đề, tính chất định lí được áp dụng. Sau đó, các bài toán áp dụng được tác giả xây dựng theo nấc thang từ thấp lên tới cao, từ dễ tới khó, từ bài toán cụ thể tới bài toán tổng quát, từ biến đổi đơn giản tới biến đổi phức tạp hơn. Sau khi đưa ra dạng toán tiêu biểu, tác giả trình bày ba phương pháp thường được sử dụng bao gồm: phương pháp nghiệm đa thức, phương pháp khảo sát và phương pháp sử dụng bậc của đa thức. Nguyên tắc của phương pháp đánh giá là ta đi tính giá trị của đa thức tại một số điểm đã biết để xác định đa thức cần tìm. Các bài toán đều có sự liên kết để người đọc rút ra được cách giải tổng quát. Tuy nhiên, có một số bài toán, ta không chỉ tìm giá trị tại một số điểm mà ta còn cần nhận xét trên một số phương diện khác về nghiệm của đa thức, giới hạn. Ở phương pháp khảo sát hệ số, tác giả chứng minh một bổ đề quan trong để áp dụng xuyên suốt các bài toán. Cuối cùng là phương pháp sử dụng bậc của đa thức, ta sử dụng kiến thức về bậc của đa thức để lập luận, tính toán tìm ra đa thức thỏa mãn phương trình hàm.