Định lý Hartman-Grobman cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

• Main Author: Nguyễn, Thị Hương
• Other Authors: Lê, Huy Tiễn
• Format: Theses and Dissertations
• Language: Vietnamese
• Published: H. : Trường Đại học Khoa học tự nhiên 2018
• Subjects: Phương trình vi phân tuyến tính; Định lý Hartman-Grobman; Toán giải tích
• Online Access: http://repository.vnu.edu.vn/handle/VNU_123/62274
• Institution: Vietnam National University, Hanoi

Định lý Hartman-Grobman là một công cụ khá mạnh và phổ biến trong các bài toán phương trình vi phân hệ động lực. Nó đưa ra điều kiện khi nào các nghiệm quanh điểm cân bằng của hệ phi tuyến có cấu trúc tương tự với nghiệm quanh điểm cân bằng của hệ phương trình tuyến tính hóa. Rõ ràng hệ tuyến tính sẽ dễ nghiên cứu hơn rất nhiều. Mục đích chính của luận văn là chuyển kết quả của định lý Hartman-Grobman cổ điển của lý thuyết phương trình vi phân sang phương trình tiến hóa nửa tuyến tính. Đã có khá nhiều tài liệu nghiên cứu và chứng minh định lý này. Tuy nhiên cách chứng minh khá phức tạp và thiếu tự nhiên vì không mở rộng được trong không gian vô hạn chiều. Luận văn không chỉ mở rộng định lý Hartman-Grobman cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính mà còn đơn giản hóa các bước chứng minh ngay cả trong trường hợp hữu hạn chiều mà còn mang lại khá nhiều kết quả hữu dụng khác. Bài toán được xác định trong khuôn khổ của lý thuyết nửa nhóm. Như ta đã biết phương trình nửa tuyến tính tồn tại duy nhất một ngiệm tốt v(t;x0). Vì vậy câu hỏi đặt ra là mối liên kết giữa nghiệm u(t;u0) = eAt u0 của hệ tuyến tính và nghiệm v(t;x0) của phương trình nửa tuyến tính với giá trị ban đầu. Câu hỏi này cũng chính là mục đích chính của định lý Hartman – Grobman cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính. Ta lưu ý rằng, ngoại trừ trường hợp số chiều là hữu hạn, một nhóm C¬0 không bao giờ compact, do đó ta không được sử dụng tính compact có sẵn. Vì vậy các chứng minh trong không gian hữu hạn chiều không thể mở rộng trong trường hợp vô hạn chiều. Luận văn, trình bày lại hướng chứng minh định lý Hartman – Grobman cho không gian vô hạn chiều một cách đơn giản hơn mà không cần sử dụng các lý thuyết của nửa nhóm tuyến tính . Cách chứng minh định lý Hartman-Grobman được trình bày trong luận văn khá nhanh và đơn giản, giúp tránh việc thông qua các lập luận của hệ động lực rời rạc mà dường như rất phức tạp. Ta lấy được một phương trình xác định cho ánh xạ Ψ: X → X, và giải bởi nguyên lý ánh xạ co. Sau đó chúng ta xác định một ánh xạ khác φ: X → X và cho chỉ ra rằng nó là một nghịch đảo trái, nghĩa là ta đi chứng minh ánh xạ đó là một đơn ánh. Điều này cho thấy rằng các ánh xạ liên hợp trên thực tế là một đồng phôi, khi đó Φ = ψ-1. Cách tiếp cận này là khá hiệu quả ngay cả trong trường hợp hữu hạn chiều.